terça-feira, 18 de fevereiro de 2014

Aproveite!

Conheça também a história da confecção deste símbolo do Jamais Desista:
Este "J" e o "D" e todas as proporções da logo acima, foram feitas com base no número áureo: 
razão áurea é definida algebricamente como:
 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi\,.
equação da direita mostra que a=b\phi, o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:
\frac{b\phi+b}{b\phi}=\frac{b\phi}{b}\,.
Cancelando b em ambos os lados, temos:
\frac{\phi+1}{\phi}=\phi.
Multiplicando ambos os lados por \phi, resulta:
\phi+1=\phi^2.
Finalmente, subtraindo \phi^2 de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por -1, encontramos:
\phi^2 - \phi - 1 = 0, que é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0, em que a=1,\ b=-1\ \mathrm{e}\ c=-1.
Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398875, que é o número \phi.

Sequência de Fibonacci[ref.: http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporção_áurea]

Representação da sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.
Como é um número extraído da sequência de Fibonacci, o número áureo representa diretamente uma constante de crescimento.
O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:
 \frac{2}{1}= 2
 \frac{3}{2}= 1,5
 \frac{5}{3}= 1,666...
 \frac{8}{5}= 1,6
 \frac{13}{8}= 1,625

Série de frações

O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas, normalmente representadas com [a,b,c,d,e], o que resulta em:
 a + \frac{1}{ b + \frac{1}{ c + \frac{1}{d + \frac{1}{e} } } }
A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.
 [1,1] = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2.
 [1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} } = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5.
 [1,1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} }} = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = 1,666.
 [1,1,1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1} } } } = 1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} = 1,6.

Série de raízes

 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}

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