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terça-feira, 18 de fevereiro de 2014

Conheça a história da logo do Jamais Desista

Você que gosta de matemática, conheça também a história da confecção deste símbolo da logo do site do Jamais Desista:
Este "J" e o "D" e todas as proporções da logo acima, foram feitas com base no número áureo: 
razão áurea é definida algebricamente como:
 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi\,.
equação da direita mostra que a=b\phi, o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:
\frac{b\phi+b}{b\phi}=\frac{b\phi}{b}\,.
Cancelando b em ambos os lados, temos:
\frac{\phi+1}{\phi}=\phi.
Multiplicando ambos os lados por \phi, resulta:
\phi+1=\phi^2.
Finalmente, subtraindo \phi^2 de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por -1, encontramos:
\phi^2 - \phi - 1 = 0, que é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0, em que a=1,\ b=-1\ \mathrm{e}\ c=-1.
Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}
\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:
\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398875, que é o número \phi.

Sequência de Fibonacci[ref.: http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporção_áurea]


Representação da sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.
Como é um número extraído da sequência de Fibonacci, o número áureo representa diretamente uma constante de crescimento.
O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:
 \frac{2}{1}= 2
 \frac{3}{2}= 1,5
 \frac{5}{3}= 1,666...
 \frac{8}{5}= 1,6
 \frac{13}{8}= 1,625

Série de frações

O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas, normalmente representadas com [a,b,c,d,e], o que resulta em:
 a + \frac{1}{ b + \frac{1}{ c + \frac{1}{d + \frac{1}{e} } } }
A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.
 [1,1] = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2.
 [1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} } = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5.
 [1,1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} }} = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = 1,666.
 [1,1,1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1} } } } = 1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} = 1,6.

Série de raízes

 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}

sexta-feira, 18 de julho de 2008

O número de vivos é maior que o número de mortos!

Há tanta coisa em que pensar, para pesquisar, para descobrir, para meditar, principalmente neste mundão globalizado em que a informação está cada vez mais disponível. Quantas não são as questões que se levantam diariamente sobre os mais diversos assuntos? Quantos não são os enígmas já propostos em que nos aventuramos sem ao menos encontrarmos uma resposta? E lá venho eu com essa questíuncula.

Eu sempre tive uma curiosidade sobre a relação matemática entre o número de vivos e o número de mortos. Alguém já se perguntou alguma vez se o número de vivos é maior, menor ou igual ao número de mortos? Eu já me perguntei e tenho minha teoria: o número de vivos é maior que o número de mortos! E sabem qual a relação entre um e outro? Eu digo que essa relação é algo em torno de 2,61803398874989... vezes.

Muito doido, não? Pense, reflita e prove que estou errado!

quarta-feira, 31 de maio de 2006

Matemática: termo geral para soma de potências.

Brincando com os números, especificamente com a soma dos primeiros “n” números naturais elevados a diversas potências, eu descobri um método, um Termo Geral, que fornece a expressão para qualquer valor do expoente “m” pertencente ao conjunto dos números naturais.

Exemplos:

Para m=1, a fórmula da soma dos primeiros “n” números naturais é S(1) = n*(n+1)/2. Ex. 1^1+2^1+3^1+4^1+5^1 = 5*(5+1)/2 = 15

Para m=2, a fórmula da soma dos primeiros “n” números naturais é S(2) = n*(2n+1)*(n+1)/6. Ex. 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 = 5*(2*5+1)*(5+1)/6 = 55

Para m=3, a fórmula da soma dos primeiros “n” números naturais é S(3) = n^2*(n+1)^2/4. Ex. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = 5^2*(5+1)^2/4 = 225

Para m, a fórmula da soma dos primeiros “n” números naturais é S(m) = ? ainda não resolvi publicá-la.

O prazer de Deus é esconder as coisas e as do rei, esquadrinhá-las” (Pv 25:2).