JAMAIS DESISTA! : Conheça a história da logo do Jamais Desista

Você que gosta de matemática, conheça também a história da confecção deste símbolo da logo do site do Jamais Desista:

Este "J" e o "D" e todas as proporções da logo acima, foram feitas com base no número áureo:

A razão áurea é definida algebricamente como:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi\,.$

A equação da direita mostra que $a=b\phi,$ o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

$\frac{b\phi+b}{b\phi}=\frac{b\phi}{b}\,.$

Cancelando b em ambos os lados, temos:

$\frac{\phi+1}{\phi}=\phi.$

Multiplicando ambos os lados por $\phi,$ resulta:

$\phi+1=\phi^2.$

Finalmente, subtraindo $\phi^2$ de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por $-1,$ encontramos:

$\phi^2 - \phi - 1 = 0,$ que é uma equação quadrática da forma $ax^2 + bx + c = 0,$ em que $a=1,\ b=-1\ \mathrm{e}\ c=-1.$

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

$\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}$

$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}$

$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398875,$ que é o número $\phi.$

Sequência de Fibonacci[ref.: http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporção_áurea]

Representação da sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.

Como é um número extraído da sequência de Fibonacci, o número áureo representa diretamente uma constante de crescimento.

O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., na qual cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série) pelo termo anterior. Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior. Podemos ver um exemplo dessa convergência a seguir, em que a série de Fibonacci está escrita até seu oitavo termo [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13]:

$\frac{2}{1}= 2$

$\frac{3}{2}= 1,5$

$\frac{5}{3}= 1,666...$

$\frac{8}{5}= 1,6$

$\frac{13}{8}= 1,625$

Série de frações

O número áureo também pode ser encontrado através de frações sucessivas, normalmente representadas com [a,b,c,d,e], o que resulta em:

$a + \frac{1}{ b + \frac{1}{ c + \frac{1}{d + \frac{1}{e} } } }$

A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.

$[1,1] = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2.$